Semangat Matematika!

Semangat Matematika!
leonard_unindra@yahoo.co.id


Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, matematika adalah "ilmu tentang
bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional
yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan".
Kalimat ini bukan rumusan yang tepat, sekalipun dapat dikatakan
memadai untuk dicantumkan dalam kamus. Ada cabang matematika yang
tidak langsung berurusan dengan bilangan, misalnya geometri,
topologi, teori graf serta logika.

Dalam naskah ini matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang
pernyataan-pernyata an, serta syarat-syarat yang diperlukan agar
sebuah pernyataan adalah benar. Dalam matematika diuji kebenaran
sebuah pernyataan, diteliti makna atau implikasi dari setiap kata
yang terdapat didalamnya, serta dicoba dikembangkan pernyataan-
pernyataan lain yang berkaitan. Pernyataan itu dapat mengenai apa
saja, yang oleh para matematikawan dipilih sebagai obyek-obyek yang
pantas diteliti dan dicermati. Salah satu obyek yang menarik adalah,
tentu saja, bilangan. Ternyata ada aneka ragam bilangan, baik yang
asli, maupun yang tidak asli. Ternyata ada bilangan yang memiliki
ciri istimewa, yang lalu disebut bilangan prima. Studi mengenai hal
ini sangat penting tidak hanya dalam matematika, namun juga dalam
teknik komputer.

Obyek menarik lain terdapat dalam geometri, misalnya titik, garis,
bidang, serta bentuk yang dapat muncul daripadanya, seperti segitiga,
lingkaran, elips, kubus, bola, kerucut, piramida, dan lain-lain.
Sangatlah terkenal pernyataan Pythagoras, bahwa dalam segitiga siku-
siku, luas bujur sangkar pada hipotenusa (sisi miring) sama dengan
jumlah luas bujur sangkar kedua sisi lainnya.

Dalam studi tentang bentuk-bentuk dalam geometri, muncul secara alami
konsep-konsep seperti panjang, luas, isi, berat dan titik berat.
Daripadanya berkembang konsep tentang satuan, besaran dan fungsi.

Obyek menarik lain bagi para matematikawan adalah himpunan, serta
hubungan antara berbagai himpunan. Studi mengenai hal ini telah
menghasilkan aneka manfaat praktis, serta mengarahkan matematikawan
kepada aneka persoalan sangat mendasar, bahkan sering bersifat
abstrak, mengenai matematika serta pondasi yang diatasnya terdapat
bangunan yang sekarang disebut matematika. Apapun yang dipelajari
dan dilakukan, semua kembali kepada usaha untuk membuat sekurang-
kurangnya sebuah pernyataan yang dapat dipertanggung- jawabkan.

Pernyataan akan diterima sebagai pernyataan yang benar, jika
kepadanya dapat diberikan (sekurang-kurangnya ) sebuah bukti yang
meyakinkan, yaitu argumentasi atau deretan kalimat yang rapi, runtut
dan masuk akal, yang daripadanya tidak ada keragu-raguan lagi
mengenai kebenaran dari teorema yang dibahas.

Pernyataan yang kebenarannya tidak pernah diragukan, namun tidak
pernah diberikan buktinya, disebut aksioma. Pernyataan yang
kebenarannya telah dijamin sekurang-kurangnya oleh sebuah bukti
meyakinkan disebut teorema atau lemma. Beda antara teorema dan lemma
tidak perlu dibahas disini. Misalnya, pada bagian awal dari buku
klasiknya yang berjudul "Grundlage der Geometrie", David Hilbert
menuliskan aksioma-aksioma tentang titik, garis dan bidang. Dari
aksioma-aksioma itu ia berhasil membuktikan semua teorema penting
dalam geometri. – Itulah contoh konkrit sebuah matematika.

Matematika dan logika. Matematika biasanya diletakkan dalam kategori
yang sama dengan logika, yang merupakan cabang dari filsafat.
Filsafat itu sendiri dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia diterangkan
sebagai "pengetahuan dan penyelidikan dengan akal budi mengenai
hakekat segala yang ada, sebab, asal dan hukumnya" -- scientia rerum
per causas ultimas. Menurut Bertrand Russel, logika adalah masa
kakak-kanak dari matematika.

Matematika dan fisika. Matematika juga biasanya diletakkan dalam
kategori yang sama dengan fisika, yang masa kanak-kanaknya disebut
kosmologi, yang merupakan cabang dari filsafat juga. Dalam fisika
dipelajari obyek alam (benda), dan atas obyek itu dicoba dibuat
pernyataan-pernyata an yang benar, yang sekarang biasa disebut hukum-
hukum alam atau hukum-hukum fisika. (Dalam naskah ini kimia
diperlakukan sebagai bagian yang tak terpisahkan dari fisika).

Adakah beda nyata antara teorema (dalam matematika) dan hukum (dalam
fisika)? Salah satu perbedaan adalah dalam pembuktian atas
kebenarannya. Teorema dibuktikan melalui argumentasi, sedang hukum
dalam fisika dibuktikan melalui eksperimen atau pengamatan.

Perbedaan lain nyata dalam sifat penelitian yang dilakukan atas
teorema dan hukum. Hukum dikaji, dan dicoba dirumuskan kembali,
dalam konteks gejala-gejala alam yang disadari, atau sekurang-
kurangnya dicurigai, mengandung fakta baru, agar hukum dapat
dirumuskan kembali menjadi bersifat mencakup fakta baru tersebut
serta memiliki ciri universal, yaitu berlaku dimana saja dan kapan
saja. Penelitian umumnya dikaji dalam pola pemikiran yang induktif.

Teorema pun dikaji dengan sasaran serupa. Tetapi teorema sering
diungkapkan berdasarkan n buah asumsi: "jika n buah asumsi A1,
A2, ... An ini benar, maka pernyataan P adalah benar". Apakah cacah
asumsi dapat dikurangi, sehingga dapat dirumuskan teorema tanpa
asumsi (misalnya)? Jika teorema bertolak dari sebuah asumsi yang
sangat ketat, dapatkah asumsi yang ketat itu diperlunak, tanpa
mengubah materi dalam teorema? -- Penelitian umumnya bersifat kajian
deduktif dan diarahkan kepada pembentukan sistem matematika yang
utuh: logis, konsisten dan efisen (bermanfaat) .